國中數學總複習(14b)一元二次方程式【莫博士,帶你長知識】

莫兆松

B. 配方法解一元二次方程式

1. 配方法的步驟:

  ① 將x² 項的係數化為1,並將常數項移到等號右邊。

  ② 等號的兩邊各加上x 項係數一半的平方。

  ③ 等號左邊寫成完全平方,等號右邊合併化簡。

  ④ 等號兩邊開平方,移項化簡求出解。

2. 前述步驟③完成後,

  ① 若等號右邊為正數,則此方程式有2個相異實根。

  ② 若等號右邊為0,則此方程式有2個相等實根(或稱為重根)。

  ③ 若等號右邊為負數,則此方程式沒有實根(或稱為無實數解)。

 

1. 以配方法解一元二次方程式ax²+bxc = 0。

解:

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C. 公式法解一元二次方程式

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1.  通常先將方程式的係數化為整數,以利後續的計算。

2.  計算判別式D = b²-4ac

3.  若判別式D>0,則此方程式有2個相異實根。

4.  若判別式D = 0,則此方程式有2個相等實根(或稱為重根)。

5.  若判別式D<0,則此方程式沒有實根(或稱為無實數解)。


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D. 應用問題

應用問題的解題步驟:

1. 認清題意:找出題中的已知數與未知數,並釐清它們之間的關係。

2. 設未知數:在所有的未知數中,選定一個較適當的,設其為 x

3. 列方程式:依題意利用選設的未知數去列方程式。

4. 解方程式:用前述方法解出所列的方程式。

5. 驗算解答:所求得的解,必須再檢驗是否合理,並捨棄不合理的根。

 

1. 長方形土地,已知長比寬多5公尺,面積為36平方公尺,求周長是多少公尺?

解:設寬為x公尺,則長為x+5公尺

    依題意可列出方程式  x(x + 5) = 36

    展開整理得 x² + 5x – 36 = 0

    因式分解得 ( x – 4 )( x + 9 ) = 0

    解得 x = 4 或 x = – 9(不合,因為長度沒有負的) 

    故寬為4公尺,長為4+5 = 9公尺

    周長= (4+9)×2 = 26

答:周長是26公尺

 

2. 一矩形草地,長30 公尺,寬20 公尺。在其內部開闢三條等寬的通路,如附圖所示,而所剩下之草地面積是468 平方公尺,則這通路的寬是幾公尺?

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解:設路寬為x公尺,

    依題意可列出方程式 (30-2x)(20-x) = 468

    展開整理得 600-70x+2x²  = 468

    移項整理得 2x² -70x+132 = 0

            或 x² -35x+66 = 0 

    因式分解得 (x -2)(x -33) = 0

    解得 x = 2 或 x = 33(不合) 

答:長是2公尺


3. 有三個連續正偶數,若其平方合為116,則此三數為何?

解:設三個連續正偶數為x-2, x x+2

    依題意可列出方程式 (x-2)² x² +(x+2)²  = 116

    展開得 x² -4x+4+x² x² +4x+4 = 116

    整理得 3x² -108 = 0 或 x² -36 = 0

    因式分解得 ( x – 6 )( x + 6 ) = 0

    解得 x = 6 或 x = – 6(不合,因為是正偶數) 

    故三個連續正偶數為6-2, 6 , 6+2

答:三個連續正偶數為4,6,8

 

4. 百貨公司一個賣價100 元的小飾品,通常一天可以賣400 個,若此小飾品每加價1元,則每天少賣2 個,某日該百貨公司此小飾品共賣得45000 元,問該日此小飾品一個賣價為多少元?

解:設該日每個加價x

    依題意可列出方程式 (100+x)(400-2x) = 45000

    展開得 40000 -200x+400x -2x² = 45000

    整理得 2x² -200x+5000 = 0 或 x² -100x+2500 = 0

    因式分解得 ( x -50 )( x -50 ) = 0

    解得 x = 50 (重根),100+50 = 150 

答:該日此小飾品一個賣價為150元

 

 

    本單元在歷屆考試32份考卷中共出現32題,佔總題數的3.2%,平均每份試卷出現1題。大部分的考題都可利用十字交乘法或配方法來處理,而且都不太困難。請善用整理的考古題,用心練習。

 

請利用以下網址,開啟或下載本單元的歷屆考題(一元二次方程式.pdf)

https://drive.google.com/open?id=1NVmwXhzygooFv8RXM3rEWkyhs3BBS4xM

 

 




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